Sammenkobling af filtre

Fra Holstebro HTX Wiki
Skift til: navigering, søgning

Når man vil lave filtre af en højere orden, så er man nødt til at koble flere filtre sammen for at realisere det.

Normalt kan man oprette et andenordensfilter med en operationsforstærker, så alt efter hvor høj en orden man ønsker, så skal man anvende flere operationsforstærker til at lave selvstændige filtre med.


Model for sammenkoblede filtre

Filtrene dimmensioneres, så de dæmper det ønskede, og kobles efter hinanden som illustreret her:

Model for hvordan filtre kobles
Model for hvordan filtre kobles[1]

Det er vigtigt at de enkelte filtre ikke belaster hinanden, da det ændrer på filtrenes frekvenskarakteristikker.

En enkel måde at gøre dette på er ved at konstruere hver blok (1. eller 2. orden) som et aktivt filter, hvor en operationsforstærker (med lav udgangsimpedans) leverer signalet til næste trin og på udgangen.

For at illustrere nødvendigheden af dette illustreres her nogle eksempler, hvor man ikke gør det:

Kombination til højere ordens filtre

Der er forskellige typer filtre, der giver forskellige frekvensrespons, men også giver andre egenskaber over for fx. en steprespons eller et firkantsignal, men mest har det at gøre med formen på frekvensresponsen som illustreret her[2]

Forskellige typer filtres frekvensresons (5. ordens)
Forskellige typer filtres frekvensresons (5. ordens)

Det at kombinere filtrene helt korrekt kræver at man kan regne i s-området, men man kan godt lave noget der minder om disse filter ud fra følgende kriterer:

Butterworth filtre ligger med samme knækfrekvens, men der etableres et minimalt løft i alle 2. ordens led, så den samlede dæmpning i knækket bliver til 3 dB. De andre typer placerer knækfrekvenserne lidt forskelligt således at nogle filtre hæver og andre dæmper en del - dette er lidt mere kompliceret, da det kræver at man både rammer den rigtige frekevns og den rigtige mængde hævning i toppen - samtidigt skal toppene være højere for at kompensere for faldet fra de andre filtre, det giver større chance for ustabilitet. Dette stiger desuden med antallet af filtre i denne kombination, hvilket kræver noget præcisere komponenter.

Forsøg med simpelt båndpasfilter

I dette dokument testes hvordan filtre kan sættes sammen, og der eftervises at man ikke blot kan koble passive filtre efter hinanden, da de belaster hinanden, og man derfor er nødt til at bruge operationsforstærkere for at adskille leddene.

Alle beregning ligger i en Maple-fil placeret i denne ZIP-fil med mapledokumenter, hvor denne side stammer fra passive.mw.

RC Lavpasfilter

Der opstilles lavpasled A1 med komponenterne R1 og C1 som vist her:

Lavpasfilter der skal bruges til båndpas
Lavpasfilter der skal bruges til båndpas

Komponenterne R1 og C1 til lavpasfilteret, med knækfrekvensen fo
Komponenterne R1 og C1 til lavpasfilteret, med knækfrekvensen fo

RC-leddet har en knækfrekvens ved 338,6 Hz

Udtrykket laves ud fra spændingsdeleren med komplekse tal så overføringsfunktionen ser ud som A1, som nede i graferne bliver til den røde kurve:

Udtrykket A1 for Lavpasfilter
Udtrykket A1 for Lavpasfilter

RC Højpasfilter

Der opstilles nu et højpasled med samme komponentstørrelser R2 og C2 som vist her:

Højpasfilter der skal bruges til båndpas
Højpasfilter der skal bruges til båndpas

Komponenterne R2 og C2 til højpasfilteret, med knækfrekvensen fo
Komponenterne R2 og C2 til højpasfilteret, med knækfrekvensen fo

Udtrykket laves ud fra spændingsdeleren med komplekse tal så overføringsfunktionen ser ud som A2, som nede i graferne bliver til den blå kurve:

Udtrykket A2 for Højpasfilter
Udtrykket A2 for Højpasfilter

Sammenkobling af to passive RC-filtre

For at lave et båndpasfilter, så kobles de to led sammen efter hinanden som vist her:

Båndpasfilter dannet af to passive filtre
Båndpasfilter dannet af to passive filtre

Udtrykket for overføringsfunktionen bliver noget mere kompliceret, da de to led belaster hinanden, men det kan udtrykkes som A3 - dette udtryk bliver til den sorte kurve:

Udtrykket A3 for Båndpasfilter lavet af to passive filtre
Udtrykket A3 for Båndpasfilter lavet af to passive filtre

Belastningen gør at filteret ved centerfrekvensen dæmper ret meget.

Aktivt filter til sammenligning

På grund af belastningen mellem ledene skal båndpasfilteret etableres omkring en operationsforstærker koblet som en inverterende forstærker som vist her: Der anvendes de samme værdier for R1, C1, R2 og C2

Aktivt Båndpasfilter
Aktivt Båndpasfilter

Med denne opstilling virker R1 og C1 som et isoleret RC-led med højpas-funktion, da minus-indgangen på operationsforstærkeren her fungerer som virtuel ground. R2 og C2 kommer til at virke som lavpas-funktion, da C2 kobler de høje frekvenser tilbage og stokker dem. R2 og C2 kommer altså også til at fungere som et selvstændigt led.

Ud fra dette bliver udtrykket for overføringsfunktionen A4 som følger - dette bliver til den grønne kurve.

Udtrykket for overføringsfunktionen for et Aktivt Båndpasfilter
Udtrykket for overføringsfunktionen for et Aktivt Båndpasfilter

Sammenligning af de simple filtre

Herunder ses plottet af de 4 filterfunktioner, så de kan sammenlignes:

Grafer for de 4 filtre og beregning af dæmpning i knækfrekvens/centerfrekvens
Grafer for de 4 filtre og beregning af dæmpning i knækfrekvens/centerfrekvens

Som det ses på graferne, så er den røde lavpas-funktion og den blå højpas-funktion præcist som forventet, og de skærer hinanden i knækfrekvensen, hvor de begge dæmper 3 dB.

Den passive sammenkobling A4 er den sorte kurve virker godt nok som båndpasfilter, men den har en dæmpning på 9,5 dB i centerfrekvensen.

Den aktive kobling med en operationsforstærker A3 er den grønne kurve virker bedre som båndpasfilter, da den har en dæmpning på 6 dB i centerfrekvensen.

Forsøg med opbygning af 2. ordens lavpasfilter

Der startes lige med et 1. ordens lavpas, for at se forskellen, men ellers gennemgås forskellige forsøg på opbygning af et 2. ordens filter.

Alle beregning ligger i en Maple-fil placeret i denne ZIP-fil med mapledokumenter, hvor denne side stammer fra passive.mw.

RC Lavpasfilter

Der opstilles lavpasled A1 med komponenterne R1 og C1 som vist her:

Lavpasfilter der skal bruges til båndpas
Lavpasfilter der skal bruges til båndpas

Komponenterne R1 og C1 til lavpasfilteret, med knækfrekvensen fo
Komponenterne R1 og C1 til lavpasfilteret, med knækfrekvensen fo

RC-leddet har en knækfrekvens ved 338,6 Hz

Udtrykket laves ud fra spændingsdeleren med komplekse tal så overføringsfunktionen ser ud som A1, som nede i graferne bliver til den røde kurve:

Udtrykket A1 for Lavpasfilter
Udtrykket A1 for Lavpasfilter

2 passive RC Lavpasfiltre koblet efter hinanden

For at teste funktionen kobles to RC led efter hinanden, for at kunne beregne virkningen:

2 Lavpasfiltere koblet direkte efter hinanden
2 Lavpasfiltere koblet direkte efter hinanden

Der defineres de to nye komponenter der er tilføjet, bare med samme størrelser:

Komponenterne R2 og C2 til lavpasfilteret, med knækfrekvensen fo
Komponenterne R2 og C2 til lavpasfilteret, med knækfrekvensen fo

Udtrykket A2 bliver væsentligt mere kompliceret, når det andet led belaster det første, men ser ud som følger, det er den blå kurve nede i grafen:

Udtrykket A2 for dobbelt Lavpasfilter
Udtrykket A2 for dobbelt Lavpasfilter

Denne måde at lave det på giver en meget mere blød afskæring, så selve knækfrekvensen er dæmpet noget mere, hvilket sjældent er ønskeligt i et filter.

2 aktive RC Lavpasfiltre koblet efter hinanden

En bedre måde at lave det på er ved at isolere de to dele fra hinanden med en buffer, der er lavet med en operationsforstærker som vist her:

2 aktive Lavpasfiltere koblet efter hinanden
2 aktive Lavpasfiltere koblet efter hinanden

På denne måde er det faktisk det simple RC-leds funktion ganget med hinanden som udtrykt i A3, der bliver til den sorte kurve nede i grafen:

Udtrykket A3 for dobbelt aktivt Lavpasfilter
Udtrykket A3 for dobbelt aktivt Lavpasfilter

Dette giver en bedre frekvensgang, hvor det ikke er så meget dæmpning ved knækfrekvensen.

2. ordens Butterworth Lavpasfilter

Man kan gøre det endnu bedre ved at lave et decideret 2. ordens filer som f.x. et butterworth filter, der ser ud som følger:

2. ordens Butterworth Lavpasfilter
2. ordens Butterworth Lavpasfilter

I filteret anvendes to kondensatorer. I denne filtertype er skal den ene være dobbelt så stor som den anden, og det logaritmiske gennemsnit skal være det samme som før, 47 nF:

Komponenterne C3 og C4 til lavpasfilteret
Komponenterne C3 og C4 til lavpasfilteret

Dette giver igen et kompliceret udtryk A4, men en endnu bedre frekvensgang omkring knækfrekvensen. Det er den grønne kurve nede i grafen:

Udtrykket A2 for dobbelt Lavpasfilter
Udtrykket A2 for dobbelt Lavpasfilter

Med et aktivt filter kan vi løfte punktet ved knækfrekvensen - det kan endda gøres endnu mere med andre aktive filtertyper - se Aktive filtre.

Sammenligning af filtrene til 2. ordens lavpas

Herunder ses plottet af de 4 filterfunktioner, så de kan sammenlignes:

Grafer for de 4 filtre til sammenligning
Grafer for de 4 filtre til sammenligning

Til sammenligning beregnes hvor meget der dæmpes i de forskellige filtres knækfrekvens:

Dæmpningen i knækfrekvensen på de 4 filtre til sammenligning
Dæmpningen i knækfrekvensen på de 4 filtre til sammenligning

Som det kan ses på den røde graf, så har den et forløb som forventet, og den dæmper 3 dB i knækfrekvensen, og den har som forventet en hældning på 20 dB pr. oktav.

Det kan også ses at de tre andre også en hældning på 40 dB pr. oktav, da de fungerer som 2. ordens filtre.

Den blå graf der er to passive filtre sat sammen giver 8,6 dB dæmpning ved knækfrekvensen, hvilket ikke er godt.

Den sorte graf som er to 1. ordens filtre, der ikke påvirker hinanden er som forventet med netop 6 dB dæmpning ved knækfrekvensen.

Ved at anvende butterworth filteret, som er den grønne graf, får vi en pæn frekvensgang for et 2. ordens filter hvor den kun dæmper med 3 dB ved knækfrekvensen.

Beregninger i Maple

Alle beregning ligger i en Maple-fil placeret i denne ZIP-fil med mapledokumenter, hvor denne side stammer fra passive.mw.

Referencer